Stabile Hauptkomponentensuche

In diesem Papier untersuchen wir das Problem, eine niederrangige Matrix (die Hauptkomponenten) aus einer hochdimensionalen Datenmatrix zu rekonstruieren, trotz sowohl kleinen eintragsweise Rauschen als auch groben sparsamen Fehlern. Kürzlich wurde gezeigt, dass ein konvexes Programm, das als Hauptkomponentensuche (PCP) bezeichnet wird, die niederrangige Matrix rekonstruieren kann, wenn die Datenmatrix durch grobe spärliche Fehler beeinträchtigt ist. Wir beweisen weiter, dass die Lösung eines verwandten konvexen Programms (ein entspanntes PCP) eine Schätzung der niederrangigen Matrix liefert, die gleichzeitig stabil gegenüber kleinen eintragsweisen Störungen und robust gegen grobe spärliche Fehler ist. Genauer gesagt zeigt unser Ergebnis, dass das vorgeschlagene konvexe Programm die niederrangige Matrix rekonstruiert, obwohl ein positiver Anteil ihrer Einträge willkürlich korrumpiert ist, mit einer Fehlergrenze, die proportional zum Rauschpegel ist. Wir präsentieren Simulationsergebnisse zur Unterstützung unseres Ergebnisses und zeigen, dass das neue konvexe Programm die Hauptkomponenten (die niederrangige Matrix) unter ziemlich breiten Bedingungen genau rekonstruiert. Soweit wir wissen, ist dies das erste Ergebnis, das zeigt, dass die klassische Hauptkomponentenanalyse (PCA), optimal für kleines i.i.d. Rauschen, robust gegen grobe spärliche Fehler gemacht werden kann; oder das erste, das zeigt, dass das neu vorgeschlagene PCP stabil gegen kleine eintragsweise Störungen gemacht werden kann.