Eine Anmerkung zu Houthakkers aggregierter Produktionsfunktion in einer multifirm Industrie

EIN PROBLEM, dem ein Ökonom, der sich mit Produktionsfunktionen beschäftigt, häufig gegenübersteht, ist das Problem der Aggregation von Faktoren. In einem eher vernachlässigten Papier entwickelt Houthakker einen einfallsreichen Ansatz zur Erklärung der Möglichkeit, eine neoklassische Produktionsfunktion für eine Branche zu finden, selbst wenn die Produktion in jedem der Unternehmen (oder Zellen) gemäß einer fixen Koeffizienten-Produktionsfunktion erfolgt. Diese festen Proportionen variieren auf regelmäßige Weise von einer Zelle zur anderen, sodass die gesamte Input-Output-Beziehung die Form einer regulären neoklassischen Produktionsfunktion annimmt. Wie Solow in einem Übersichtsartikel über Produktionsfunktionen feststellt, wurde dieses Papier vergessen und in keine Richtung weiterverfolgt. In dieser Notiz versuchen wir, das Verfahren von Houthakker umzukehren und zu zeigen, wie jede neoklassische Produktionsfunktion eine Dichtefunktion oder Verteilungsfunktion über die Zellen impliziert. Hier tun wir dies für CES-Produktionsfunktionen, aber es wird offensichtlich sein, dass dieselbe Methode auf jede Produktionsfunktion anwendbar ist. Following Houthakker normalisieren wir die Zellen, sodass jede von ihnen in der Lage ist, eine Einheit Output zu produzieren. Jede Zelle hat ein Erfordernis, sagen wir t, der variablen Komponente, und dieses Erfordernis variiert von einer Zelle zur anderen. Wenn der Lohnsatz in Bezug auf die produzierte Menge p ist, dann werden alle Zellen mit tp < 1 eine Einheit Output produzieren, alle anderen werden untätig sein. Angenommen, wir haben eine Dichtefunktion der verschiedenen Zellen durch g(t) gegeben. Die produzierte Menge wird dann Q = f Pg(t)dt und der eingesetzte Input A f f'IP tg(t)dt sein. Durch Eliminierung von i/p erhält man eine Beziehung zwischen Q und A. Auf diese Weise hat Houthakker gezeigt, dass eine Pareto-Verteilung eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion impliziert. Beachten Sie, dass die Beziehung zwischen Q und A, dem kumulierten Produkt und dem eingesetzten Faktor, die vertraute Lorenz-Kurve ist. Angenommen, die Gesamtbeziehung zwischen Output und variablem Faktor folgt einer CES-Produktionsfunktion mit einer Substitutionselastizität (a), die kleiner als 1 ist;