Effizienter Quantenalgorithmus für dissipative nichtlineare Differentialgleichungen

Nichtlineare Differentialgleichungen modellieren verschiedene Phänomene, sind aber berüchtigt schwierig zu lösen. Obwohl es umfangreiche vorherige Arbeiten zu effizienten Quantenalgorithmen für lineare Differentialgleichungen gegeben hat, hat die Linearität der Quantenmechanik vergleichbare Fortschritte für den nichtlinearen Fall eingeschränkt. Trotz dieses Hindernisses entwickeln wir einen Quantenalgorithmus für dissipative quadratische n-dimensionale gewöhnliche Differentialgleichungen. Vorausgesetzt wird Formel: siehe Text, wobei R ein Parameter ist, der das Verhältnis der Nichtlinearität und Kraft zur linearen Dissipation charakterisiert, hat dieser Algorithmus eine Komplexität von Formel: siehe Text, wobei T die Evolutionszeit, ϵ der zulässige Fehler ist und q den Zerfall der Lösung misst. Dies ist eine exponentielle Verbesserung gegenüber den besten vorherigen Quantenalgorithmen, deren Komplexität exponentiell in T ist. Während exponentieller Zerfall Effizienz ausschließt, können getriebene Gleichungen dieses Problem umgehen, trotz der Anwesenheit von Dissipation. Unser Algorithmus verwendet die Methode der Carleman-Linärisierung, für die wir einen Konvergenzsatz geben. Diese Methode mappt ein System von nichtlinearen Differentialgleichungen in ein unendlichdimensionales System von linearen Differentialgleichungen, das wir diskretisieren, truncieren und mit der Vorwärts-Euler-Methode und dem Quanten-Linear-System-Algorithmus lösen. Wir geben auch eine untere Schranke für die Worst-Case-Komplexität von Quantenalgorithmen für allgemeine quadratische Differentialgleichungen an und zeigen, dass das Problem unlösbar ist für Formel: siehe Text. Schließlich diskutieren wir potenzielle Anwendungen und zeigen, dass die Bedingung Formel: siehe Text in realistischen epidemiologischen Modellen erfüllt werden kann und liefern numerische Beweise, dass die Methode ein Modell der Fluiddynamik beschreiben kann, selbst für größere Werte von R.