Theorie der Toeplitz-Determinanten und der Spin-Korrelationen des zweidimensionalen Ising-Modells. I

Wir untersuchen im Detail das asymptotische Verhalten bei großen Abständen der Korrelation zwischen zwei Spins im Fall des zweidimensionalen Ising-Modells ohne magnetisches Feld. Im Grenzwert unendlicher Entfernung ist diese Korrelation gleich dem Quadrat der spontanen Magnetisierung pro Spin. Dieses Papier widmet sich der Frage, wie die Korrelation sich bei festem Temperaturwert diesem Grenzwert nähert. Die Untersuchung beschränkt sich auf die Situation, in der sich die beiden betrachteten Spins in derselben Reihe des zweidimensionalen Gitters befinden. Es gibt drei unterschiedliche Fälle, in denen die feste Temperatur über, unter oder gleich der kritischen Temperatur oder der Curie-Temperatur liegt. In den ersten beiden Fällen nähert sich der Grenzwert exponentiell als Funktion des Abstands, während sich bei der kritischen Temperatur die Korrelation asymptotisch wie die inverse vierte Wurzel des Abstands verhält. In diesem Papier bewerten wir genau die ersten vier Terme der asymptotischen Expansion im ersten Fall, die ersten drei Terme im zweiten Fall und die Koeffizienten der Terme, die proportional zu den - und den -94 Potenzen des Abstands im dritten Fall sind. Alle diese Ergebnisse werden gewonnen, indem wir zuerst die Korrelation als Toeplitz-Determinante ausdrücken, und die verwendete Methode ist in der Lage, prinzipiell die gesamte asymptotische Expansion für große Klassen solcher Determinanten zu geben, wenn die Größe der Determinante gegen unendlich strebt. Die expliziten Ergebnisse für das zweidimensionale Ising-Modell dienen auch als Beispiel dafür, wo die Vorschrift, die führenden Terme oder die am stärksten divergierenden Terme zu summieren, scheitert.