Form der "Summe über Flächen" der Schleifenquantengravitation

Wir leiten eine Raum-Zeit-Formulierung der quantenmechanischen allgemeinen Relativitätstheorie aus der (Hamiltonschen) Schleifenquantengravitation ab. Insbesondere untersuchen wir den quantenmechanischen Propagator, der die Dreigeometrie in Eigenzeit entwickelt. Wir zeigen, dass die Störungserweiterung dieses Operators endlich und ordnungsgemäß berechenbar ist. Durch die grafische Darstellung dieser Erweiterung im Stil von Feynman finden wir, dass die Theorie als Summe über topologisch unäquivalente (verzweigte, farbige) zweidimensionale (2D) Flächen in 4D ausgedrückt werden kann. Der Beitrag einer Fläche zur Summe wird durch das Produkt eines Faktors pro Verzweigungspunkt der Fläche gegeben. Daher spielen Verzweigungspunkte die Rolle der elementaren Eckpunkte der Theorie. Ihr Wert wird durch die Matrixelemente der Hamiltonschen Einschränkung bestimmt, die bekannt sind. Die Formulierung, die wir erhalten, kann als eine Kontinuum-Version von Reisenbergers simplicialer quantenmechanischer Gravitation betrachtet werden. Außerdem hat sie die gleiche Struktur wie die Ooguri-Crane-Yetter 4D topologische Feldtheorie, mit einigen wichtigen Unterschieden, die die Beziehung zwischen quantenmechanischer Gravitation und topologischer Quantenfeldtheorie beleuchten. Schließlich schlagen wir vor, dass bestimmte neue Terme zur Hamiltonschen Einschränkung hinzugefügt werden sollten, um eine "Kreuzungs"-Symmetrie zu implementieren, die mit der 4D-Diffeomorphie-Invarianz verbunden ist.