Varianzreduktion für simulierte Diffusionen

Dieser Artikel entwickelt einige Techniken zur Varianzreduktion für die Monte-Carlo-Integration von Funktionalen der Lösungen von Itô-Stochastischen Differentialgleichungen (SDEs). Die Monte-Carlo-Methode für SDEs bietet ein Mittel zur Berechnung von Lösungen bestimmter Typen parabolischer partieller Differentialgleichungen und hat daher Anwendungen in verschiedenen Bereichen, einschließlich stochastischer Kontrolle, Teilchenphysik und Ökonometrie; sie beinhaltet die Darstellung der erforderlichen Integrale als Mittel von Zufallsvariablen, die auf unendlichen-dimensionalen Wiener-Räumen definiert sind, die nicht direkt simuliert werden können - sie müssen zu einem bestimmten Zeitpunkt durch Variablen approximiert werden, die auf hohen, aber endlichen-dimensionalen Räumen definiert sind. Der hier gewählte Ansatz besteht darin, varianzreduzierte Zufallsvariablen auf den unendlichen-dimensionalen Räumen zu konstruieren, die anschließend durch eines von mehreren bekannten Finite-Differenzen-Verfahren approximiert werden können. Die Methoden der Kontrollvariaten und der Wichtigkeitsstichprobe werden entwickelt. In beiden Fällen wird zuerst eine perfekte Variante (d.h. eine, die unvoreingenommen ist und eine Nullvarianz hat) durch das Funke–Shevlyakov–Haussmann-Integraldarstellungssatz für Funktionale von Itô-Prozessen konstruiert. Diese beinhalten Terme, die nicht genau berechnet werden können, aber approximiert werden können, um unverzerrte Schätzer der gewünschten Integrale mit reduzierten Varianzen zu liefern. Eine Reihe von Methoden zur Approximation dieser Terme wird vorgeschlagen und numerische Experimente werden für eine der Methoden durchgeführt. Die Experimente legen nahe, dass die Methode zumindest in einigen Fällen eine Varianzreduktion liefern kann, die die zusätzliche Berechnung rechtfertigt.