Dyadische Diagonalisierung von positiv definiten Bandmatrizen und effiziente B-Spline-Orthogonalisierung

Ein dyadischer Algorithmus zur Diagonalisierung einer beliebigen positiv definiten Bandmatrix, die als Band-Gramian bezeichnet wird, wird ermittelt, um die B-Splines effizient zu orthogonalisieren. Der Algorithmus kann auch als schnelles Inversionsverfahren für einen Band-Gramian verwendet werden, der durch bemerkenswerte Sparsamkeit der diagonalierenden Matrix gekennzeichnet ist. Es gibt zwei Versionen des Algorithmus: die erste ist effizienter und anwendbar auf einen Toeplitz-Band-Gramian, während die zweite allgemeiner ist, mit jeder Gramian-Matrix funktioniert, aber rechnerisch intensiver ist. Im Kontext der B-Splines führen diese beiden Fälle zu neuen symmetrischen Orthogonalisierungsverfahren und entsprechen gleichmäßig und willkürlich verteilten Knoten. Im Algorithmus wird die Sparsamkeit eines Band-Gramians genutzt, um ein natürliches dyadisches Netz orthogonaler Splines zu erzeugen, anstatt eine Sequenz davon. Ein solches Netz wird somit natürlich als Splinet bezeichnet. Die Splinets nutzen die „nahe Orthogonalisierung“ der B-Splines und weisen eine Lokalität auf, die sich durch eine kleine Größe der gesamten Unterstützungsmenge und rechnerische Effizienz auszeichnet, die sich aus der geringen Anzahl erforderlicher innerer Produktberechnungen für ihre Konstruktion ergibt. Diese und andere Effizienzen werden formal durch obere Schranken und asymptotische Raten in Bezug auf die Anzahl der Splines in einem Splinet quantifiziert. Eine zusätzliche Bewertung erfolgt durch numerische Experimente. Diese deuten darauf hin, dass die theoretischen Schranken eher konservativ sind und die Methode sogar effizienter ist, als die Schranken anzeigen. Die netzartigen Strukturen und die Lokalität weisen einige Ähnlichkeiten mit Wavelets auf, sind aber in der Tat grundlegend unterschiedlich, da die Splinets nicht darauf abzielen, die Auflösungsmaße zu erfassen. Das Orthogonalisierungsverfahren zusammen mit effizienter Splinalgebra und -rechnung wurde im R-Paket Splinets implementiert, das auf CRAN verfügbar ist.