Invariante Projektionsräume: Integrale Geometrie und kanonische Metriken

Wir führen das Prinzip der invarianten Projektion und die zugehörigen invariantenn Projektionsräume (IPS) ein, ein einheitlicher Rahmen für integrale Geometrie auf homogenen Varietäten. Ein IPS ist eine doppelte Faserung der Inzidenz, ausgestattet mit einem invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß, das einen Projektor hervorbringt, dessen Durchschnitt die G-invariante Kohomologie extrahiert. Das Herzstück ist eine grundlegende Identität ∫X ω ∧ Π* (1) = ∫G Π (ω) dμ, aus der wir die klassischen Crofton- und Schubert-Formeln ableiten. Wir führen das Konzept der IPS-kohomologischen Vollständigkeit ein und beweisen, dass für verallgemeinerte Flaggenvarietäten G/P die Schubert-Zyklen eine vollständige Familie bilden; folglich ist die invariante Projektion injektiv auf der Kohomologie. Dies ergibt eine rigorose Charakterisierung der Kähler–Einstein-Metriken als solche mit konstanter invarianter Projektion der Ricci-Form. Ein ergodischer Satz für den iterierten Projektionsoperator wird etabliert, was zu einem IPS-Invariant führt; wir vermuten seine Gleichheit mit dem Futaki-Invariant und verifizieren dies für die Hirzebruch-Oberfläche F₁. Wir konstruieren IPS-Strukturen für Grassmannianen, Flaggenvarietäten, quadratische Hypersurfen und riemannsche Sphären. Die Arbeit kulminiert in der Mabuchi-Turm-Vermutung, die die IPS-Iteration mit der K-Stabilität von Fano-Mannigfaltigkeiten verbindet.