Zur expliziten Lösung des Dirichlet-Randwertproblems für verallgemeinerte harmonische Funktionen in zirkularen Gebieten

Zusammenfassung Der Artikel betrachtet ein Randwertproblem vom Typ Dirichlet für verallgemeinerte harmonische Funktionen beliebiger Ordnung in einfach zusammenhängenden Gebieten mit glatten Grenzen. Mithilfe der allgemeinen Darstellung verallgemeinerter harmonischer Funktionen über zwei analytische Funktionen einer komplexen Variablen und auf Grundlage der Methode der Konjugation analytischer Funktionen werden explizite Lösungen sowohl für das homogene Dirichlet-Problem als auch für das inhomogene Dirichlet-Problem in den Klassen der verallgemeinerten harmonischen Funktionen erster Ordnung in zirkularen Gebieten abgeleitet. Das Hauptlogikschema der gewonnenen Methode zur Lösung des untersuchten Randwertproblems ist wie folgt: Zuerst wird berücksichtigt, dass der Kreis eine analytische Kurve ist, und es werden zwei Hilfsfunktionen eingeführt. Die Lösung des betrachteten Randwertproblems wird auf die Lösung des einfachsten klassischen Konjugationsproblems für die Hilfsfunktionen reduziert; dann, durch das Lösen zweier linearer Differentialgleichungen erster Ordnung von Euler in den Klassen der analytischen Funktionen einer komplexen Variablen, erhalten wir die allgemeine Lösung des ursprünglichen Randwertproblems.