Ein Bayesianischer Ansatz zur nichtlinearen Inversion

Iterierte lineare Inversionstheorie kann oft nichtlineare inversen Probleme lösen. Außerdem bietet die lineare Inversionstheorie bequeme Fehlerabschätzungen und andere interpretative Maße. Aber sind diese interpretativen Maße für nichtlineare Probleme gültig? Wir behandeln diese Frage in Bezug auf die gemeinsamkeitsdichtefunktion (pdf) der geschätzten Parameter. Kurz gesagt, die lineare Inversionstheorie wird gültig sein, wenn die Beobachtungen lineare Funktionen der Parameter innerhalb eines vernünftigen (sagen wir, 95%) Konfidenzraums um die optimale Schätzung sind, vorausgesetzt, die optimale Schätzung ist eindeutig. Wir verwenden Bayes' Regel, um zu zeigen, wie Vorinformationen die Eindeutigkeit der optimalen Schätzung verbessern können, während sie die iterative Suche nach dieser Schätzung stabilisieren. Wir entwickeln auch quantitative Kriterien für die relative Wichtigkeit von Vor- und Beobachtungsdaten sowie für die Auswirkungen der Nichtlinearität. Unsere Methode kann jede Form von pdf für Beobachtungsdaten und Vorinformationen handhaben. Die Berechnungen sind viel einfacher (etwa gleich den Anforderungen für die Marquardt-Methode), wenn sowohl Beobachtungs- als auch Vorinformationen gaussisch sind. Wir präsentieren Berechnungen für einige einfache ein- und zwei-Parameter nichtlineare inverse Probleme. Diese Beispiele zeigen, dass die asymptotischen Statistiken (die auf der linearen Theorie basieren) in einigen Fällen grob fehlerhaft sein können. In anderen Fällen können genaue Beobachtungen, Vorinformationen oder eine Kombination aus beidem ein ansonsten nichtlineares Problem effektiv linearisieren.