Die Kohärenz der Mehrheit wird klassisch auf zwei Arten erreicht. Der räumliche Ansatz, der mit Blacks Medianwähler-Theorem verbunden ist, beschränkt die Präferenzen durch niederdimensionale Geometrie. Der kombinatorische Ansatz beschränkt die zulässigen linearen Ordnungen direkt und gibt eine Condorcet-Domain, auf der die Mehrheit immer azyklisch ist. Die beiden werden oft zusammen diskutiert, aber ihre quantitative Beziehung war nicht explizit: Wie groß kann eine Condorcet-Domain in einem festen räumlichen Modell sein? Lassen Sie P_d(n) die größte Condorcet-Domain bezeichnen, die in einem d-dimensionalen gewichtet-affinen Ranking-Modell enthalten ist, und ebenso für das gewöhnliche euklidische Idealpunktmodell bei n Alternativen. Das zentrale Ergebnis ist, dass für jede feste Dimension d beide Größen wachsen als Θ_d(n^{2d}), während uneingeschränkte maximalen Condorcet-Domänen exponentiell wachsen. Die fester dimensionale räumliche Kohärenz und die kombinatorische Mehrheit-Kohärenz sind daher asymptotisch unterschiedliche Einschränkungen. Im zweidimensionalen Raum legt das Papier genaue Werte fest: 4, 9 und 19 Alternativen bei n = 3, 4, 5, wobei 19 strikt unter dem kombinatorischen Maximum von 20 liegt, und sichert mindestens 38 bei n = 6. Die oberen Schranken im kleinen Fall beruhen auf einem Spannungsraumhindernis und einer erschöpfenden Klassifikation von maximalen fünf-Alternativen-Domänen. Das Papier liefert auch eine genaue Präfixsumme, Wurzelkegel und Gale-Kriterium für räumliche Realisierbarkeit und nutzt Paarvergleichszerstörung, um die räumliche Dimension einer Präferenzdomain zu definieren und zu begrenzen: eine Domain der Größe 2^{(n-1)} hat exakt räumliche Dimension n-1. Familien von exponentieller Größe erzwingen Dimension Omega(n / log n), und das Papier vermutet, dass eine lineare Dimension notwendig ist. Alle computerassistierten Behauptungen verwenden deterministische exakte arithmetische Zertifikate und reproduzierbare Skripte.
K. Fathi (Mi,) untersuchte diese Frage.