Über multiple Rückkehren im Random-Walk-Problem

Betrachten Sie ein Random-Walk-Problem auf einem einfachen Gitter, wobei die Wahrscheinlichkeiten des Wanderers, in jede Richtung im Gitter an jedem Gitterpunkt zu gehen, gleich sind. Dann hat Polya (6) gezeigt, dass, wenn ein Wanderer vom Ursprung aus startet und unendlich weit weitergeht, die Wahrscheinlichkeit, seinen Ausgangspunkt zu passieren, in einer und zwei Dimensionen eins ist, aber in drei oder mehr Dimensionen weniger als eins. Kürzlich wurde eine Verallgemeinerung dieses Problems betrachtet (1),(3), bei der der Wanderer erlaubt ist, mehrere Gitterpunkte mit zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten zu springen. F. G. Foster und I. J. Good (3) haben gezeigt, dass, wenn die zugewiesenen Wahrscheinlichkeiten bestimmte Bedingungen erfüllen, Polya's Ergebnis immer noch gilt, und K. L. Chung und W. H. J. Fuchs (1) haben gezeigt, dass das Ergebnis unter weit weniger restriktiven Bedingungen gültig ist. Die oben genannten Autoren beschäftigten sich in erster Linie mit der Frage, ob die Rückkehr fast sicher ist oder nicht, und betrachteten keine detaillierte Berechnung der Wahrscheinlichkeit zu irgendeinem Zeitpunkt. Ziel des vorliegenden Artikels ist es zu zeigen, dass die Verwendung von Konturintegralen in Verbindung mit der Methode der steilsten Abstiege (4) es ermöglicht, diese Berechnung sehr einfach durchzuführen.