Comportamiento asintótico de la probabilidad de supervivencia en estado de enfriamiento de un paseo aleatorio ramificado supercrítico en un entorno aleatorio con una barrera

Introducimos una barrera aleatoria a un paseo aleatorio ramificado supercrítico en un entorno aleatorio i.i.d. \Lₙ\ indexado por el tiempo n, es decir, en cada generación, solo los individuos nacidos por debajo de la barrera pueden sobrevivir y reproducirse. En la generación n (n), la barrera se establece como ₙ+ n, donde \ₙ\ es un paseo aleatorio determinado por el entorno aleatorio. Lv \& Hong (2024) demostraron que para casi todo L: =\Lₙ\, la probabilidad de supervivencia en estado de enfriamiento (denotada por ₋ () ) del sistema de partículas será 0 (resp., positiva) cuando 0 (resp., >0). En el presente documento, probamos que L () convergerá en probabilidad/casi seguro/en Lᵖ a una constante negativa explícita (dependiendo del entorno) como 0 bajo algunas condiciones de integrabilidad respectivamente. Este resultado amplía el alcance del resultado de Gantert et al. (2011) al caso del entorno aleatorio.