Gradients non locaux : Théorème fondamental du calcul, inégalités de Poincaré et embeddings

Résumé Nous abordons l'étude des gradients non locaux définis par des noyaux radiaux généraux. Notre investigation se concentre sur les propriétés des espaces fonctionnels associés, qui dépendent des caractéristiques de la fonction noyau. Spécifiquement, même avec des hypothèses minimales sur, nous établissons des inégalités de Poincaré et des embeddings compacts dans les espaces de Lebesgue. De plus, nous présentons un théorème fondamental du calcul qui nous permet de récupérer une fonction à partir de son gradient non local par le biais d'une convolution. Cela est utilisé pour démontrer des embeddings dans des espaces d'Orlicz et des espaces de fonctions continues qui reflètent les inégalités bien connues de Sobolev et de Morrey pour les gradients classiques. Enfin, nous établissons les conditions pour les inclusions et l'égalité des espaces associés à différents noyaux.