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September 23, 2025Open Access

Dualité de Koszul et le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt

Key Points

L'algèbre enveloppante universelle d'une algèbre de Lie graduée différentielle est montrée comme étant Koszul.
Une homotopie de contraction explicite est construite à partir de la construction cobar jusqu'à l'algèbre enveloppante universelle.
Ce résultat fournit une nouvelle compréhension du théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt dans le contexte des algèbres L_infinity.
L'application de la théorie des perturbations homologiques facilite cette preuve impliquant les algèbres A_infinity.

Abstract

En utilisant une homotopie introduite par de Wilde et Lecomte et la théorie des perturbations homologiques pour les algèbres A_ -algebra, nous prouvons explicitement que l'algèbre enveloppante universelle UL d'une algèbre de Lie graduée différentielle L est Koszul, via une homotopie de contraction explicite de la construction cobar CL de la coalgèbre chain Chevalley–Eilenberg CL de L à UL. Cela peut être considéré comme une extension du théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt aux algèbres L_ -algebras.

Dualité de Koszul et le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt

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