Problème de valeur aux limites de type Dirichlet pour une équation elliptique avec trois coefficients singuliers dans le premier octant

Cet article étudie un problème de valeur aux limites de type Dirichlet pour une équation elliptique tridimensionnelle avec trois coefficients singuliers dans le premier octant. L'unicité de la solution au sein de la classe des solutions régulières est établie à l'aide de la méthode de l'intégrale d'énergie. Pour prouver l'existence d'une solution, la méthode de la transformation intégrale de Hankel est employée. L'utilisation de la transformation de Hankel est particulièrement appropriée lorsque les variables de l'équation varient de zéro à l'infini. Cette transformation est une méthode efficace pour obtenir des solutions à de tels problèmes. Dans l'espace tridimensionnel, pour dériver l'équation image, la transformation intégrale de Hankel est appliquée à l'équation originale par rapport aux variables x et y. En conséquence, un problème de valeur aux limites pour une équation différentielle ordinaire dans la variable z se pose. En résolvant ce problème, une solution au problème de valeur aux limites original est construite sous la forme d'une double intégrale impropre impliquant des fonctions de Bessel de première espèce et des fonctions de Macdonald. Pour justifier la convergence uniforme des intégrales impropres, des estimations asymptotiques des fonctions de Bessel de première espèce et des fonctions de Macdonald sont utilisées. Sur la base de ces estimations, des bornes pour les intégrandes sont obtenues, ce qui assure la convergence de la double intégrale impropre résultante, c'est-à-dire la solution au problème de valeur aux limites original et ses dérivées jusqu'au second ordre, y compris, ainsi que le théorème d'existence au sein de la classe des solutions régulières.