Congruences motiviques et conjecture de Sharifi

Résumé : Soit f une forme propre cuspidale de poids deux et de niveau N, soit p N un premier tel que f soit congruent à une série d'Eisenstein et soit Vf le module de Tate p-adique de f. Beilinson a construit une classe f H¹ (, Vf (1)) résultant du produit en croix de deux unités de Siegel et a prouvé une relation frappante avec la première dérivée L' (f, 0) au point presque central s=0 de la série L de f, ce qui l'a conduit à formuler sa célèbre conjecture. Dans cette note, nous prouvons deux formules de congruence liant la ``partie motivique'' de L' (f, 0) (p) et L'' (f, 0) (p) avec des unités circulaires. Les preuves font usage de propriétés galoisiennes délicates satisfaites par divers réseaux intégraux au sein de Vf et exploitent les travaux de Perrin-Riou, Coleman et Kato sur les systèmes d'Euler des unités circulaires et des éléments de Beilinson--Kato et, surtout, les travaux de Sharifi, Fukaya--Kato et Ohta.