Transport optimal sur des hypersurfaces nulles et la condition d'énergie nulle

L'objectif du présent travail est d'étudier le transport optimal sur des hypersurfaces nulles à l'intérieur des variétés lorentziennes. Le défi ici est que le transport optimal le long d'une hypersurface nulle est complètement dégénéré, car le coût ne prend que les deux valeurs 0 et +. Les outils développés dans le manuscrit permettent de donner une caractérisation du transport optimal de la condition d'énergie nulle (à savoir, la courbure de Ricci non négative dans les directions nulles) pour les variétés lorentziennes en termes de propriétés de convexité de l'entropie de Boltzmann--Shannon le long des géodésiques nulles des mesures de probabilité. Nous obtenons comme applications : un résultat de stabilité sous la convergence des espaces-temps, un résultat de comparaison pour les cônes nuls, et le théorème de l'aire de Hawking (tant en forme précise, pour des mesures éventuellement pondérées, qu'avec des affirmations de rigidité apparemment nouvelles).