Représentation et génération de nombres premiers et de coprimes en utilisant des sommes algébriques structurées

La structure algébrique et la distribution des nombres premiers restent deux des problèmes les plus fondamentaux en mathématiques. Le Théorème Fondamental de l'Arithmétique, prouvé par Euclide, et la conjecture de Goldbach, bien qu'universels en ce qui concerne la façon dont les nombres peuvent être représentés de manière multiplicative ou additive, n'offrent pas d'aperçu sur la structure des premiers. De même, la définition d'un premier − comme un nombre divisible uniquement par 1 et lui-même − ou un algorithme de crible, couramment utilisé pour générer des premiers en éliminant successivement les multiples, n'offre pas d'aperçu sur la structure des premiers. La considération puissante et persistante des nombres premiers comme des « quanta arithmétiques » universels n'a pas nécessité un besoin tout aussi puissant de recherches parallèles visant à donner une explication plus profonde et possiblement plus perspicace de la primalité, c'est-à-dire une meilleure compréhension de « pourquoi » un nombre est premier. Dans cet article, les nombres premiers et coprimes sont représentés et générés par des expressions algébriques. Plus précisément, étant donné les premiers in/i, ipsub1/sub/i, i psub2/sub/i,…, ipsubn/sub/i, des conditions suffisantes sont données pour exprimer les premiers supérieurs à ipsubn/sub/i, et les coprimes ayant des facteurs premiers supérieurs à ipsubn/sub/i, en tant que fonctions algébriques d’ipsub1/sub/i, i psub2/sub/i,…, ipsubn/sub/i. Ainsi, la primalité et la coprimalité sont montrées comme des propriétés mathématiques ayant des caractéristiques algébriques intrinsèquement évolutives, puisque des premiers et des coprimes plus grands peuvent être générés algébriquement à partir de plus petits. La méthodologie décrite dans l'article peut être un outil utile dans l'étude et l'analyse de la complexité, de la structure, des interrelations et de la distribution des premiers et coprimes.