Hypersurfaces de courbure scalaire constante dans l'espace hyperbolique avec une frontière asymptotique prescrite à l'infini

Dans cette note, nous étudions le problème de Plateau asymptotique dans l'espace hyperbolique, et nous prouvons l'existence d'une hypersurface complète lisse de courbure scalaire constante dans l'espace hyperbolique avec une frontière asymptotique prescrite à l'infini. S'appuyant sur un travail pionnier de Bo Guan et Joel Spruck, nous cherchons la solution sous la forme d'un graphe vertical sur un domaine borné et résolvons le problème de Dirichlet correspondant pour une équation différentielle partielle totalement non linéaire en établissant les estimations cruciales d'ordre deux pour les solutions admissibles. Notre preuve se compose de trois ingrédients principaux : (1) un choix spécial non standard pour le paramètre dans la fonction auxiliaire, (2) une soi-disant inégalité presque-Jacobi pour l'opérateur d'équation, et (3) un ensemble d'arguments qui réduisent la situation au cas semi-convexe et qui maintiennent le coefficient du terme négatif problématique dans une ampleur appropriée.