Obstruction de descente étale et géométrie anabelienne des courbes sur des corps finis

Soit C et D des courbes lisses, propres et géométriquement intégrales sur un corps fini F. Tout morphisme de D vers C induit un morphisme de leurs groupes fondamentaux étales. La philosophie anabelienne proposée par Grothendieck suggère que, lorsque C a un genre d'au moins 2, tous les homomorphismes ouverts entre les groupes fondamentaux étales devraient découler de cette façon d'un morphisme non constant de courbes. Nous relions cette attente à l'arithmétique de la cour CK sur le corps de fonctions global K = F(D). Plus précisément, nous montrons qu'il existe une bijection entre l'ensemble des classes de conjugaison de morphismes bien comportés des groupes fondamentaux et les points adéliques localement constants de CK qui survivent à la descente étale. Nous utilisons cela pour fournir des preuves supplémentaires pour la conjecture anabelienne en la reliant à une autre conjecture récente de Sutherland et du second auteur.