Approximation réduite par bases non linéaires pour un problème elliptique à multiparamètres

Les méthodes de bases réduites pour approximarer les solutions des équations aux dérivées partielles (EDP) dépendantes des paramètres sont basées sur l'apprentissage de la structure de l'ensemble des solutions - vu comme une variété S dans un certain espace fonctionnel - lorsque les paramètres varient. Cela nécessite d'examiner la variété et, en particulier, de comprendre si elle est proche d'un espace affine de faible dimension. Cela mène à la notion de largeur N de Kolmogorov qui consiste à évaluer dans quelle mesure le meilleur choix d'un espace vectoriel de dimension N approxime suffisamment bien S. Si une bonne approximation des éléments de S peut être réalisée avec un espace vectoriel bien choisi de dimension N -- à condition que N ne soit pas trop grand -- alors une base « réduite » peut être proposée, menant à une méthode de type Galerkin pour l'approximation de tout élément dans S. Dans de nombreux cas, cependant, la largeur N de Kolmogorov n'est pas si petite, même si l'ensemble des paramètres se trouve dans un espace de petite dimension, donnant lieu à une variété de petite dimension. En termes de réduction de complexité, cet écart entre la petite dimension de la variété et la grande largeur N de Kolmogorov peut être expliqué par le fait que la largeur N de Kolmogorov est linéaire alors qu'en revanche, la dépendance aux paramètres est, le plus souvent, non linéaire. Il y a eu de nombreuses contributions visant à concilier ces deux affirmations, que ce soit basées sur des approches déterministes ou d'IA. Nous examinons ici davantage un nouveau paradigme qui, d'une certaine manière, fusionne ces deux aspects : l'approximation réduite par bases compressives non linéaires. Nous nous concentrons sur un simple problème multiparamétrique et illustrons rigoureusement que la complexité associée à l'approximation de la solution de l'EDP dépendante des paramètres est directement liée au nombre de paramètres plutôt qu'à la largeur N de Kolmogorov.