Immersions plane optimales de nombre d'enroulement prescrit et variables d'Arnold

Vladimir Arnold a défini trois invariants pour les immersions planes génériques, c'est-à-dire des courbes planes dont toutes les auto-intersections sont des points doubles transversaux. Nous utilisons une approche variationnelle pour étudier ces invariants en investiguant une énergie de nœud convenablement tronquée, l'énergie des points tangents. Nous prouvons l'existence de minimisateurs d'énergie pour chaque paramètre de troncation > 0 dans une classe d'immersions avec nombre d'enroulement prescrit et invariants d'Arnold, et établissons la convergence Gamma des énergies tronquées des points tangents vers une énergie des points tangents renormalisée limite à 0. De plus, nous montrons que toute séquence de minimisateurs sous-converge en C¹, et que la courbe limite correspondante a les mêmes invariants topologiques, s'auto-interpète exclusivement à angles droits, et minimise l'énergie des points tangents renormalisée parmi toutes les courbes avec des angles d'auto-intersection droits. En outre, la courbe limite est un quasi-minimisateur pour toutes les énergies tronquées originales des points tangents tant que le paramètre de troncation est suffisamment petit. Par conséquent, cette courbe limite sert de courbe "optimale" dans la classe des immersions planes génériques avec nombre d'enroulement prescrit et invariants d'Arnold.