Sur les lacunes dans les spectres des opérateurs de Schrödinger quasipériodiques avec des potentiels monotones discontinus

Nous montrons que, pour les opérateurs de Schrödinger discrets unidimensionnels, la stabilité de la localisation d'Anderson sous une classe de perturbations de rang un implique l'absence d'intervalles dans les spectres. L'argument repose sur un résultat bien connu de Gordon et Simon, combiné avec une manière de considérer les perturbations dont les images ne sont pas nécessairement cycliques. L'application principale des résultats est de montrer qu'une classe d'opérateurs quasipériodiques avec des potentiels en dents de scie, pour laquelle une telle version de la localisation stable est connue, a des spectres de Cantor. Nous obtenons également plusieurs résultats sur le remplissage des lacunes sous des perturbations de rang un pour certaines classes générales (pas nécessairement monotones) d'opérateurs quasipériodiques avec des potentiels discontinus.