Asymptotiques des barycentres quantifiés des polytopes de réseau avec applications à la géométrie algébrique

Cet article aborde un problème combinatoire avec des applications à la géométrie algébrique. À un polytope convexe de réseau P et à chacune de ses dilatations entières kP, on peut associer le barycentre de ses points de réseau. Cette séquence de barycentres k-quantifiés converge vers le barycentre (classique) du polytope considéré comme un corps convexe. Une question fondamentale se pose : existe-t-il une expansion asymptotique complète pour cette séquence ? Si oui, quels en sont les termes ? Cet article initie l'étude de cette question. Premièrement, nous établissons l'existence d'une telle expansion ainsi que déterminons les deux premiers termes. Deuxièmement, pour les polytopes de réseau de Delzant, nous utilisons l'algèbre torique pour déterminer tous les termes en utilisant des volumes mixtes de polytopes de toit virtuels, ou alternativement en termes d'invariants de Donaldson--Futaki de degré supérieur. Troisièmement, pour les polytopes réflexifs, nous montrons que les barycentres quantifiés sont colinéaires d'ordre supérieur, et en fait colinéaires dans le cas des polygones. Les preuves utilisent la théorie d'Ehrhart, des arguments de convexité et l'algèbre torique. Comme applications, nous dérivons l'expansion asymptotique complète des seuils de stabilité de Fujita--Odaka ₖ sur des polarisations arbitraires sur des variétés toriques (possiblement singulières). En fait, nous montrons qu'ils sont des fonctions rationnelles de k pour des valeurs de k suffisamment grandes. Cela donne le premier résultat général sur le problème de stabilisation de Tian pour les invariants ₖ pour les Fanos toriques (possiblement singuliers) : ₖ stabilise en k si et seulement s'ils sont tous égaux à 1, et lorsque lisse si et seulement si asymptotiquement Chow semi-stable. Nous relions également les expansions asymptotiques aux invariants de Donaldson--Futaki de degré supérieur de configurations de test motivées par la théorie d'Ehrhart, et unifions au passage les résultats précédents de Donaldson, Ono, Futaki et Rubinstein--Tian--Zhang.