Stabilité quantitative des inégalités de Sobolev sur des variétés riemanniennes compactes

Nous étudions les résultats de stabilité quantitative pour différentes classes d'inégalités de Sobolev sur des variétés riemanniennes compactes générales. Nous prouvons que, à des constantes dépendant de la variété, une fonction qui presque saturates une inégalité de Sobolev critique est quantitativement W^1, 2-proche d'un ensemble non vide de fonctions extrémales, à condition que la constante de Sobolev optimale correspondante satisfasse une borne stricte appropriée. Le cas des inégalités de Sobolev sub-critiques est également traité. Enfin, nous discutons des phénomènes dégénérés dans nos contrôles quantitatifs.