Théorèmes de Breuer-Major pour des variables aléatoires à valeurs dans un espace de Hilbert.

Soit \Xₖ\₊ ₙ un processus gaussien stationnaire avec des valeurs dans un espace de Hilbert séparé H₁, et soit G: H₁ H₂ un opérateur agissant sur Xₖ. Sous des conditions appropriées sur l'opérateur G et les corrélations temporelles et transversales de \Xₖ\₊ ₙ, nous déduisons un théorème central limite (TCL) pour les sommes partielles normalisées de \GXₖ\₊ ₙ. Pour prouver un TCL pour le processus à valeurs dans l'espace de Hilbert \GXₖ\₊ ₙ, nous employons des techniques issues du cadre de Malliavin-Stein en dimension infinie récemment développé. De plus, nous fournissons des versions quantitatives et en temps continu du TCL dérivé. À travers une série d'exemples, nous retrouvons et renforçons des théorèmes limites pour une large gamme de statistiques pertinentes dans l'analyse de données fonctionnelles, et présentons un nouveau théorème limite dans le cadre des opérateurs neuronaux comme application de notre résultat.