Nouveaux théorèmes spectraux de Bishop--Gromov et Bonnet--Myers et applications à l'isopérimétrie

Nous montrons une généralisation spectrale aiguë et rigide du théorème classique de comparaison de volumes de Bishop--Gromov : si une variété riemannienne fermée (M, g) de dimension n ≥ 3 satisfait \ ₁ (-+Ric) n-1 \ pour un certain 0 ≤ n-2, alors vol (M) (S^n), et ₁ (M) est fini. De plus, la borne est aigüe pour que ce résultat tienne. Une généralisation du théorème de Bonnet--Myers est également montrée sous la même condition spectrale. Les preuves impliquent l'utilisation d'un nouveau problème isopérimétrique à poids inégaux et de bulles déformées inégalement. En application, dans les dimensions 3 ≤ n ≤ 5, nous déduisons des résultats aigus sur la structure isopérimétrique à l'infini des variétés complètes ayant une courbure de Ricci non négative et une courbure bi-Ricci uniformément positive.