Problèmes de transport optimal stratifiés de Monge-Kantorovich

Dans cet article, nous étudions les problèmes de Monge-Kantorovich pour lesquels la continuité absolue des marginales est relaxée. Pour X, Y^n+1, notons (X, BX, ) et (Y, BY, ) deux espaces de probabilité de Borel, c : X Y étant une fonction de coût, et considérons le problème align*MKPMKPEQ \ₗ ₘ c (x, y) \, d\: \ (, ) \. align* Inspirés par l'article fondateur GANGBOMCCANN2 avec des applications dans le problème de reconnaissance de forme, nous considérons d'abord MKPEQ pour le coût c (x, y) =h (x-y) avec h strictement convexe défini sur l'espace cible à plusieurs couches align* X=X\x\, Y=₊=₁K (Y₊ \yₖ\), align* où X, Y₊ R^n pour k \1, , K\, x R, et \y₁,. . . , yK\ R. Ici, nous supposons que |Xⁿ (la mesure de Lebesgue sur Rⁿ), mais est singulière par rapport à L^n+1. Lorsque K=1, cela se traduit par le MKPEQ standard pour lequel la solution unique est concentrée sur une carte. Nous montrons que pour K 2, la solution est toujours unique mais elle se concentre sur le graphe de plusieurs cartes. Ensuite, nous étudions MKPEQ pour un sous-ensemble fermé X R^n+1 et sa sous-variété n-dimensionnelle X₀ avec la première marginale de la forme align* X f (x) \, d (x) =X f (x) (x) \, dL^n+1 (x) +ₗ䃐 f (x₀) \, d S (x₀), \ \ f Cb (X). align* Ici, S est une mesure sur X₀ telle que S L^n sur chaque chartre coordonnée de X₀. Cela peut être vu comme un problème à deux couches puisque la mesure charge à la fois des sous-ensembles n- et n+1-dimensionnels.