Limite moyen-champ des systèmes de particules stationnaires 2D avec des interactions coulombiennes signées

Nous étudions les limites moyen-champ des points critiques des énergies d'interaction avec une singularité coulombienne. Une caractéristique importante de notre cadre est que nous permettons l'interaction entre des particules de signes opposés. Les particules de signes opposés s'attirent tandis que les particules du même signe se repoussent. En 2D, nous prouvons que les mesures empiriques associées convergent vers une mesure limite qui satisfait une condition de criticité à deux volets : sous forme de vitesse ou sous forme de vorticité. Notre cadre comprend le problème stationnaire d'attraction-répulsion avec singularité coulombienne et le système stationnaire de vortex ponctuels en mécanique des fluides. Dans ce dernier contexte, dans le cas où la mesure limite est dans H^-1₋₎₂ (R²), nous retrouvons la condition de criticité classique stipulant que ^ g, avec g (x) =- |x|, est une solution stationnaire de l'équation d'Euler incompressible. Ce résultat est, à notre connaissance, nouveau dans le cas de particules avec des signes différents (pour les particules de signe positif, il a été obtenu par Schochet en 1996). Afin de dériver la condition de criticité limite sous forme de vitesse, nous suivons une approche conçue par Sandier-Serfaty dans le contexte des vortex de Ginzburg-Landau. Cela consiste à passer à la limite dans le tenseur énergie-impulsion associé au champ de vitesse. D'autre part, la condition de criticité sous forme de vorticité est obtenue par des arguments plus proches de ceux de Schochet.