Limite Adiabatique Tordue pour Structures Complexes

Étant donné une variété complexe X et une fonction lisse et positive définie dessus, nous perturbons l'opérateur différentiel standard d= + agissant sur des formes différentielles à un opérateur différentiel d'ordre un D_ dont la partie principale est +. Le rôle de la partie d'ordre zéro est d'imposer la propriété d'intégrabilité D_²=0 qui conduit à une cohomologie isomorphe à la cohomologie de de Rham de X, tandis que les composants de types (0, \, 1) et (1, \, 0) de D_ induisent des cohomologies isomorphes aux cohomologies de Dolbeault et de Dolbeault conjugué. Nous calculons des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour les Laplaciens induits par ces opérateurs et une métrique hermitienne donnée sur X. Les calculs révèlent des opérateurs de type courbure d'ordre un qui peuvent être rendus (semi-) positifs sous des hypothèses appropriées sur la fonction. Comme applications, nous obtenons des résultats d'annulation pour certains espaces harmoniques sur des variétés complètes et non compactes, ainsi que pour la cohomologie de Dolbeault de variétés complexes compactes qui portent certains types de fonctions. Cette étude prolonge et généralise celle des opérateurs dₕ=h + que nous avons introduits et étudiés récemment pour une constante positive h que l'on a alors laissé converger vers 0 et, de manière plus générale, pour des constantes h. Les opérateurs dₕ avaient, à leur tour, été adaptés aux structures complexes à partir de la construction bien connue de limite adiabatique pour les feuilletages riemannien. Autoriser maintenant des fonctions éventuellement non constantes crée de la positivité dans l'opérateur de type courbure, ce qui est favorable pour divers types d'applications.