Sur les singularités des composants de la carte de Gauss des surfaces dans { {R}}⁴

Résumé La carte de Gauss d'une immersion générique d'une surface lisse et orientée dans {R}⁴ R 4 est une immersion. Mais cette carte prend des valeurs sur le Grassmanien des plans 2 orientés dans {R}⁴ R 4. Étant donné que cette variété a une structure de produit de deux sphères, la carte de Gauss a deux composants qui prennent des valeurs sur la sphère. Nous étudions les singularités des composants de la carte de Gauss et les relions aux propriétés géométriques de l'immersion générique. De plus, nous prouvons que les singularités sont généralement stables et nous les relions au type de contact de la surface et aux courbes {J} J -holomorphes par rapport à une structure complexe orthogonale {J} J sur {R}⁴ R 4. Enfin, nous obtenons certaines formules de type Gauss–Bonnet impliquant la géométrie des singularités des composants avec la géométrie et la topologie de la surface.