Caractérisation du GSVD par expansion en valeurs singulières d'opérateurs linéaires et son calcul

La décomposition en valeurs singulières généralisée (GSVD) d'une paire de matrices \A, L\ avec A^m n et L^p n généralise la décomposition en valeurs singulières (SVD) d'une seule matrice. Dans cet article, nous proposons une nouvelle compréhension du GSVD du point de vue de la SVD, sur la base de laquelle nous proposons une nouvelle méthode itérative pour calculer des composants GSVD non triviaux d'une paire de matrices à grande échelle. En introduisant deux opérateurs linéaires A et L induits par \A, L\ entre deux espaces de Hilbert de dimension finie et en appliquant la théorie de l'expansion des valeurs singulières (SVE) pour des opérateurs linéaires compacts, nous montrons que le GSVD de \A, L\ n'est rien d'autre que les SVE de A et L. Ce résultat caractérise complètement la structure du GSVD pour toute paire de matrices ayant le même nombre de colonnes. En tant qu'application directe de ce résultat, nous généralisons la bidiagonalisatio n Golub-Kahan standard (GKB) qui est une routine de base pour le calcul de SVD à grande échelle de sorte que le processus GKB généralisé (gGKB) résultant puisse être utilisé pour approximer des composants GSVD extrêmes non triviaux de \A, L\, qui est nommé l'algorithme gGKB\GSVD. Nous utilisons le GSVD de \A, L\ pour étudier plusieurs propriétés de base du gGKB et fournissons également des résultats préliminaires sur la convergence et la précision du gGKB\GSVD pour le calcul du GSVD. Des expériences numériques sont présentées pour démontrer l'efficacité de cette méthode.