Approximations inconditionnellement préservant la positivité du type modèle Ait-Sahalia : Schémas explicites de type Milstein

Résumé Cet article vise à concevoir et analyser des schémas forts efficaces d'ordre un pour un modèle généralisé de type Aït-Sahalia apparaissant en finance mathématique et évoluant dans un domaine positif (0, ∞), qui possède un terme de diffusion avec une croissance superlinéaire et un dérive hautement non linéaire qui explose à l'origine. Une telle structure complexe du modèle entraîne inévitablement des difficultés essentielles dans la construction et l'analyse de convergence des discrétisations temporelles. En incorporant l'implicité dans le terme α-1x−1 et une correspondance corrective Φh dans la récurrence, nous développons une nouvelle classe de schémas explicites et préservant inconditionnellement la positivité (c'est-à-dire, pour toute taille de pas h > 0) de type Milstein pour le modèle sous-jacent. Dans les cas non critiques et les cas critiques généraux, nous introduisons une nouvelle approche pour analyser les bornes d'erreur quadratique moyenne des nouveaux schémas, sans s'appuyer sur des bornes de moments d'ordre élevé a priori des approximations numériques. L'ordre un attendu de convergence quadratique moyenne est atteint pour le schéma proposé. La garantie théorique ci-dessus peut être utilisée pour justifier la complexité optimale de la méthode du Monte Carlo multilevel. Des expériences numériques sont enfin fournies pour vérifier les résultats théoriques. Classification AMS : 60H35, 60H15, 65C30.