Optimal en termes de récupération d'exactitude de certaines classes de fonctions par séries de Fourier

Introduction. L'approximation de fonction (approximation ou restauration) est largement utilisée dans l'analyse de données, la construction de modèles et la prévision. L'objectif de l'approximation de fonction est de trouver la fonction qui approche le mieux la fonction originale. Cela peut être utile lorsque la fonction originale est trop complexe à analyser ou lorsqu'un modèle doit être simplifié pour une computation ou une interprétation plus efficace. L'approximation de fonction est un outil important dans les sciences, l'ingénierie, l'économie et d'autres domaines où l'analyse de données et la modélisation sont nécessaires. Elle permet de simplifier des fonctions complexes, d'identifier des motifs dans le comportement de l'objet d'étude et de prédire la valeur d'une fonction au-delà des données disponibles. Le but de cet article est de considérer les problèmes d'approximation d'une fonction, qui sur un certain intervalle est donnée par ses valeurs dans un ensemble de points nodaux et appartient à une certaine classe de fonctions par séries de Fourier trigonométriques avec une précision donnée et sous la conformité à des contraintes données sur son temps d'exécution. Une attention particulière est accordée à l'obtention d'estimations de la complexité computationnelle (temps d'implémentation) et à la résolution du problème d'approximation de fonction par des séries de Fourier avec une précision donnée ou maximale possible en utilisant des algorithmes efficaces pour résoudre des problèmes d'optimisation. Résultats. La formulation générale du problème d'approximation de fonctions par des séries de Fourier conformément à la technologie de résolution de problèmes de mathématiques appliquées et computationnelles avec des valeurs spécifiées de caractéristiques de qualité est présentée. Des estimations de l'erreur des algorithmes d'approximation proposés utilisant, pour le calcul des coefficients de Fourier, les formules de quadrature optimales en termes d'exactitude et proches d'elles pour le calcul d'intégrales de fonctions oscillantes rapidement des classes de Helder et de Lipschitz avec des valeurs fixes données dans les nœuds d'une grille fixe sont données. Les formules de quadrature correspondantes et les estimations constructives de l'erreur de la méthode d'approximation de fonctions des classes spécifiées sont fournies. Des estimations de la complexité computationnelle des algorithmes donnés sont obtenues, ce qui permet de définir des contraintes réelles sur le temps d'implémentation de l'algorithme avec une précision donnée ou maximale possible. Conclusions. Une analyse complète de la qualité des algorithmes considérés pour l'approximation de fonctions par des séries de Fourier utilisant les formules de quadrature optimales en termes d'exactitude (ou proches de celles-ci) pour le calcul des coefficients de Fourier pour le calcul d'intégrales de fonctions oscillantes rapidement est présentée. Les estimations de leurs principales caractéristiques – exactitude et complexité computationnelle – sont obtenues. Mots clés : approximation de fonction, séries de Fourier, coefficients des séries de Fourier, erreur d'approximation, complexité computationnelle.