Distance Moyenne sur Graphes Métriques

Résumé Nous introduisons une notion naturelle de distance moyenne (ou moyenne) dans le contexte de graphes métriques compacts, et étudions sa relation avec les propriétés géométriques du graphe. Nous montrons qu'elle présente un nombre frappant de parallèles avec le réciproque de l'écart spectral du Laplacien du graphe avec des conditions de sommet standard : elle est maximisée parmi tous les graphes de longueur fixe par le graphe chemin (intervalle), ou par la boucle dans la classe restreinte des graphes doublement connectés, et elle est minimisée parmi tous les graphes de longueur fixe et de nombre d'arêtes par le graphe fleur équilatéral. Nous établissons également des bornes pour le produit correctement mis à l'échelle de l'écart spectral et du carré de la distance moyenne qui dépendent uniquement des caractéristiques combinatoires et non métriques du graphe. Cela soulève la question ouverte de savoir si ce produit admet des bornes supérieures et inférieures absolues valables sur tous les graphes métriques compacts.