La topologie persistante des épaississements métriques basés sur le transport optimal

Un épaississement métrique d'un espace métrique donné X est tout espace métrique admettant un embedding isométrique de X. Les épaississements ont trouvé une utilisation dans les applications de la topologie à l'analyse de données, où l'on peut approximer la forme d'un ensemble de données via l'homologie persistante d'une séquence croissante d'espaces. Nous introduisons deux nouvelles familles d'épaississements métriques, les épaississements métriques p-Vietoris-Rips et p-Čech pour tout 1 ≤ p ≤ 1, qui incluent toutes les mesures de probabilité sur X dont le p-diamètre ou le p-rayon est borné par le haut, équipées d'une métrique de transport optimal. Le p-diamètre (resp. p-rayon) d'une mesure est un certain `p relâchement de la notion habituelle de diamètre (resp. rayon) d'un sous-ensemble d'un espace métrique. Ces familles récupèrent les épaississements métriques Vietoris-Rips et Čech précédemment étudiés lorsque p = 1. Comme principale contribution, nous prouvons un théorème de stabilité pour l'homologie persistante des épaississements métriques p-Vietoris-Rips et p-Čech, qui est nouveau même dans le cas où p = 1. Dans le cas spécifique p = 2, nous prouvons un théorème de type Hausmann pour les épaississements de variétés, et nous dérivons la liste complète des types d'homotopie des épaississements 2-Vietoris-Rips de la n-sphère à mesure que l'échelle augmente. 55N31; 51F99, 53C23 1. Introduction 394 2. Contexte 398 3. Le p-relâchement des épaississements métriques 405 4. Propriétés de base 410 5. Stabilité 414 6. Un théorème de type Hausmann pour les épaississements 2-Vietoris-Rips et 2-Čech 423 7. Les épaississements 2-Vietoris-Rips et 2-Čech de sphères avec métrique euclidienne 426 8. Limiter la longueur du barcode via la dispersion 428 9. Conclusion