Convergence quasi sûre de la norme des polynômes de Littlewood

Résumé Cet article concerne la norme L⁴ des polynômes de Littlewood sur le cercle unité, qui sont donnés par \( qₙ(z) = \sum_{k=0}^{n-1} z^{k} \); c'est-à-dire qu'ils ont des coefficients aléatoires dans \[-1, 1\]. Notons \( ||qₙ||_{4}^{4} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |qₙ(e^{i\theta})|^{4} d\theta \). Nous montrons que \( \frac{||qₙ||_{4}}{n} \to 42 \) presque sûrement lorsque \( n \to \infty \). Cela améliore un résultat de Borwein et Lockhart (2001, Proceedings of the American Mathematical Society 129, 1463–1472), qui ont prouvé la convergence correspondante en probabilité. Des preuves numériques générées par ordinateur de la convergence a. s. ont été fournies par Robinson (1997, Polynômes avec des coefficients de plus ou moins un : propriétés de croissance sur le cercle unité, mémoire de M. Sc., Simon Fraser University). Nous présentons effectivement deux preuves du résultat principal. La deuxième preuve s'étend aux cas où nous devons seulement supposer une condition de quatrième moment.