Comptage des courbes invariantes : Une théorie des invariants de Gopakumar–Vafa pour les variétés de Calabi–Yau tridimensionnelles avec une involution

Nous développons une théorie des invariants de Gopakumar-Vafa (GV) pour une variété de Calabi-Yau tridimensionnelle (CY3) X équipée d'une involution ı préservant la forme volume holomorphe. Nous définissons des entiers n g,h (β) qui donnent un comptage virtuel du nombre de courbes de genre g C sur X, dans la classe β ∈ H 2 (X), qui sont invariantes sous ı, et dont le quotient C/ı a genre h. Nous donnons deux définitions de n g,h (β) que nous conjecturons être équivalentes : l'une en termes d'une version de la théorie de Pandharipande-Thomas et l'autre en termes d'une version de la théorie de Maulik-Toda. Nous calculons nos invariants et fournissons des preuves pour notre conjecture dans plusieurs cas. En particulier, nous calculons nos invariants lorsque X = S × C, où S est une surface abélienne avec ı(a) = -a ou une surface K3 avec une involution symplectique (une surface K3 de Nikulin). Pour ces cas, nous donnons des formules pour nos invariants en termes de formes modulaires de Jacobi. Invariants ordinaires GV : Soit X une variété de Calabi-Yau tridimensionnelle (CY3), ce que nous entendons par une variété quasi-projective lisse sur C de dimension 3 avec K X ∼ = O X. En 1998 GV98, Gopakumar et Vafa (GV) ont défini via la physique des invariants entiers n g (β) qui donnent un comptage virtuel de courbes C ⊂ X de genre g et de classe Mathematically, il existe deux approches conjecturalement équivalentes en théorie des faisceaux pour définir n g (β), l'une par Pandharipande et Thomas (PT) via leurs invariants de paires stables PT10, et une plus récemment donnée par Maulik et Toda (MT) utilisant des faisceaux pervers MTo18. Nous commençons par passer en revue la théorie ordinaire de GV, puis nous développons de manière parallèle une théorie des invariants GV pour les CY3 avec une involution. Invariants GV via la théorie PT : Soit PT β,n (X) l'espace de modules des paires PT PT09 : PT β,n (X) = (F, s) : s ∈ H 0 (X, F ), supp(F ) = β, χ(F ) = n.