La plupart des formes binaires de degré impair échouent à représenter primitivement un carré

Soit F une forme binaire intégrale séparable de degré impair N 5. Un résultat de Darmon et Granville connu sous le nom de ‘Faltings plus epsilon’ implique que l'équation superelliptique de degré N y² = F (x, z) a un nombre fini de solutions entières primitives. Dans cet article, nous considérons la famille FN (f₀) d'équations superelliptiques de degré N avec un coefficient principal fixe f₀ Z Z², ordonnées par hauteur. Pour chaque N suffisamment grand, nous prouvons qu'entre les équations de la famille FN (f₀), plus de 74,9 % sont insolubles, et plus de 71,8 % sont localement solubles partout mais échouent au principe de Hasse en raison de l'obstruction de Brauer–Manin. Nous montrons en outre que ces proportions augmentent à au moins 99,9 % et 96,7 %, respectivement, lorsque f₀ a suffisamment de diviseurs premiers de multiplicité impaire. Notre résultat peut être considéré comme une forme asymptotique forte de ‘Faltings plus epsilon’ pour les équations superelliptiques et constitue un analogue du résultat de Bhargava selon lequel la plupart des courbes hyperelliptiques sur Q n'ont pas de points rationnels.