La fonction totient d'Euler, pierre angulaire de la théorie des nombres, a suscité de nombreuses études et applications dans plusieurs disciplines. Dans cet article, nous explorons les motifs que présentent les itérations de la fonction totient. Cet article couvre d'abord les définitions fondamentales et les théorèmes bien établis. Ensuite, nous nous appuyons sur ces résultats pour examiner l'application multiple de la fonction totient, telle que ϕ (ϕ (ϕ (n))). Des théorèmes concernant le comportement à long terme de telles itérations sont présentés. Puis, nous appliquons une approche de sommation innovante aux itérations de la fonction totient, qui est sous la forme de ϕ (n) + ϕ (ϕ (n)) + ϕ (ϕ (ϕ (n))) + qui pourrait également être exprimée comme ϕⁱ (n). Nous prouvons de nouveaux théorèmes concernant cette somme pour toutes les puissances des nombres premiers de Fermat, et nous dérivons un résultat élégant pour les puissances de trois. Cet article initie des recherches sur les sommes des valeurs de la fonction totient itérées.
Li et al. (Mercredi,) ont étudié cette question.