Topos de Grothendieck avec un adjoint à gauche d'un adjoint à gauche d'un adjoint à gauche au foncteur des sections globales

Cet article étudie la notion de connexité complète d'un topos de Grothendieck, définie comme l'existence d'un adjoint à gauche d'un adjoint à gauche d'un adjoint à gauche au foncteur des sections globales, et fournit de nombreux exemples. Les exemples typiques incluent les topoi de présheaf sur une catégorie avec un objet initial, tels que le topos des ensembles, le topos de Sierpiński, le topos des arbres, le classificateur d'objets, le topos des ensembles simpliciaux augmentés, et les topoi classificateurs de nombreuses théories algébriques, telles que les groupes, les anneaux, et les espaces vectoriels. Nous développons d'abord une théorie générale sur la longueur des adjunctions entre un topos de Grothendieck et le topos des ensembles. Nous fournissons une caractérisation site de la connexité complète, qui s'avère être duale à celle des topoi locaux. Nous prouvons également que chaque topos de Grothendieck est un sous-topos fermé d'un topos de Grothendieck complètement connecté.