On p-adic regulators of number fields

In dieser Arbeit studieren wir den p-adische Regulator von Zahlkörpern, welcher eine arithmetische Invariante ist, die von Leopoldt eingeführt wurde. Wir verfolgen das Ziel, Vermutungen über die Verteilungen von p-adischen Regulatoren für Familien von Zahlkörpern herzuleiten, was bislang ausschließlich für Zahlkörper von ungeradem Primzahlgrad umgesetzt wurde. Zudem beabsichtigen wir, die Existenz von Formeln für p-adische Regulatoren von Zahlkörpern in Abhängigkeit von Zwischenkörpern zu untersuchen, ergänzend zu bisherigen Nachforschungen für andere arithmetische Invarianten. Wir erhalten Vermutungen für quadratische Zahlkörper, indem wir Bilder von Logarithmen bestimmen. Allgemeiner, für Familen von Zahlkörpern formulieren wir ein Prinzip, welches besagt, dass die Verteilung der Bewertungen von p-adischen Regulatoren und die Verteilung von spezifischen zufälligen Moduln gleich sind. Wir stellen Prinzipien für normale (Erweiterungen von) Zahlkörper(n) und nicht-normale Zahlkörper bereit. Eins der Hauptresultate, und Grundlage für die Prinzipien, gewährt für jede Primzahl p und für jeden Zahlkörper die Existenz eines endlichen Moduls, dessen Ordnung mit dem p-adischen Regulator verknüpft ist. Zusätzlich zeigen wir Formeln für erwartete Verteilungen von p-adischen Regulatoren für eine Auswahl von normalen Zahlkörpern, z.B. mit zyklischer Galoisgruppe. Die Formeln werden mithilfe eines Ansatzes hergeleitet, welcher Zufallsmatrizen und Gruppendeterminanten involviert. Außerdem beweisen wir Formeln für die Bewertung des p-adischen Regulators für normale Zahlkörper in Abhängigkeit von Zwischenkörpern und eine Verallgemeinerung für normale Erweiterungen von Zahlkörpern. Um diese Formeln zu zeigen, nutzen wir die Konzepte der skalaren Normrelationen, beziehungsweise Brauerrelationen, und kohomologische Mackey-Funktoren. Zusätzlich leiten wir eine Formel für p-adische L-Reihen eines Zahlkörpers und seinen Zwischenkörpern her. Zuletzt diskutieren wir offene Fragestellungen bezüglich Verteilungen von p-adischen Regulatoren und stellen computerbasierte Daten bereit, welche die formulierten Prinzipien für eine Auswahl von Beispielen stützen. Zusammenfassend erweitern die Prinzipien bisherige Vermutungen über Verteilungen von p-adischen Regulatoren und erlauben die bewiesenen Formeln für die Bewertung des p-adischen Regulators von normalen Zahlkörpern eine effizientere Berechnung durch Ausnutzung von Zwischenkörpern.