Estimations asymptotiques de la rigidité de torsion des tiges avec des sections transversales amincies

Nous étudions la rigidité de torsion des tiges avec des sections transversales amincies. L'objectif principal de cet article est de prouver des formules asymptotiques rigoureuses pour la rigidité de torsion lorsque l'épaisseur de la section transversale tend vers zéro. Ces formules asymptotiques sont empiriquement connues et sont largement utilisées dans le domaine de la Mécanique des Matériaux. D'un point de vue plus théorique, les domaines amincis sont considérés lors de l'étude des inégalités optimales pour certaines classes de fonctionnels dépendant des domaines. Nous rappelons comme exemple ce type d'inégalités l'inégalité célèbre de Saint Venant qui stipule que, parmi les domaines planaires de mesure de Lebesgue fixe, le disque est la section transversale correspondant à une rigidité de torsion maximale. Il est bien connu que cette affirmation est équivalente à dire que les disques maximisent un fonctionnel approprié, voir par exemple (Amato et al. dans On the optimal sets in Pólya and Makai type inequalities, 2025) et les références qui y figurent. En réalité, dans le présent article, d'autres types de fonctionnels sont plus pertinents lors de la prise en compte des domaines amincis. Nous nous référons en particulier aux fonctionnels dits de Pólya et Makai, voir les articles (Makai dans On the principal frequency of a membrane and the torsional rigidity of a beam, Stanford Univ. Press, Stanford, 1962 ; Pólya, J Indian Math Soc (N.S.) 24(1960) : 413–419, 1961 ; Pólya et Szegö, Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, Princeton University Press, Princeton, 1951) pour plus de détails et (1.14) dans le présent article pour les définitions précises.