La Famille Binationale à Un Paramètre : Matrices de Pascal, Générateurs Nilpotents, Puissances Fractionnaires et Opérateurs de Translation

Cet article étudie la famille binationale à un paramètre de matrices binomiales inférieures triangulaires Lₙ(a), définie par Lₙ(a)₍ᵣ,ᶜ₎ = aʳ⁻ᶜ · C(r−1, c−1) pour r ≥ c, et 0 sinon. Le résultat central est la loi additive exacte Lₙ(a)Lₙ(b) = Lₙ(a+b), qui montre que a ↦ Lₙ(a) est un sous-groupe à un paramètre du groupe unitaire inférieur triangulaire. La famille admet un générateur nilpotent Nₙ avec Lₙ(a) = eᵃᴺⁿ, donnant une définition canonique de logarithme pour les puissances fractionnaires et complexes : Lₙ(a)ᵗ = Lₙ(ta). Un deuxième théorème principal identifie la multiplication à droite par Lₙ(a) avec la translation sur les lignes de coefficients polynomiaux : si p(x) = ∑ₘ₌₀ⁿ⁻¹ uₘxᵐ, alors uLₙ(a) est exactement la ligne de coefficients de p(x+a). Dans ce modèle, le générateur Nₙ agit comme une différenciation. L'article développe également des fonctions génératrices de lignes et de colonnes, une normalisation de puissance divisée dans laquelle la famille devient conjuguée à eᵃᴶⁿ pour un seul bloc de Jordan Jₙ, le type de similarité unipotente exact pour a ≠ 0, la filtration de rang rank((Lₙ(a)−I)ᵐ) = n−m, la non-négativité totale pour a > 0, et une loi de signe en damier explicite pour les mineurs lorsque a < 0. Le résultat est un cadre fini et compact liant les matrices de Pascal, les exponentielles nilpotentes, les opérateurs de translation, la théorie de Jordan, et la positivité structurée. Un code sur demande vérifie la loi additive, la représentation exponentielle, l'action dérivée, le théorème de translation, et la cohérence des puissances fractionnaires sur des sections finies.