Diese Arbeit etabliert einen präzisen mathematischen Rahmen für Lévy-weißes Rauschen, das als verallgemeinertes Zufallsfeld mit Werten im Raum der temperierten Distributionen S′ behandelt wird. Wir rezensieren die Ergebnisse von Biermé, Durieu und Wang 6, liefern eine detailliertere Darstellung und korrigieren kleinere Ungenauigkeiten in der bestehenden Literatur. Durch die Verwendung einer Multi-Sequenz-Darstellung des Schwartz-Raums S auf Basis von Hermite-Funktionen schlägt diese Arbeit eine Brücke zwischen der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie und der Untersuchung von Maßen auf unendlichdimensionalen Räumen. Diese Methodik liefert einen in sich geschlossenen Beweis des Satzes von Minlos-Bochner; orientiert an der Arbeit von Unser und Fageot 11, 13 nutzen wir diesen Satz als zentrales Existenzresultat, um Lévy-weißes Rauschen auf S′ mittels unendlich teilbarer Verteilungen zu definieren. Des Weiteren bietet die Arbeit eine vereinheitlichte Darstellung, indem sie den konstruktiven Ansatz — die Definition von Lévy-weißem Rauschen als Distributionsableitung eines Lévy- Prozesses — mit dem formalen funktionalanalytischen Rahmen verknüpft. Letztlich ermöglicht diese Formulierung eine rein distributionelle Behandlung stochastischer Differentialgleichungen (SDEs) und liefert eine in der Operatortheorie verwurzelte Lösungstheorie. 6 Hermine Biermé, Olivier Durieu, and Yizao Wang. “Generalized Random Fields and Lévy’s Continuity Theorem on the Space of Tempered Distributions”. In: Communications in Stochastic Analysis 12.4 (2018), Article 4, 427–445. 11 Julien Fageot, Arash Amini, and Michael Unser. “On the Continuity of Characteristic Functionals and Sparse Stochastic Modeling”. In: Journal of Fourier Analysis and Applications 20 (2014), pp. 1179–1211. doi: 10.1007/s00041-014-9373-8. 13 Julien Fageot and Thomas Humeau. “The domain of definition of the Lévy white noise”. In: Stochastic Processes and their Applications 135 (Feb. 2021). doi: 10.1016/j.spa.2021.01.007.
Jakob Hahn (Thu,) studied this question.