Schémas centraux semi-discrets de type Central-Upwind pour les lois de conservation hyperboliques et les équations de Hamilton--Jacobi

Résumé. Nous introduisons de nouveaux schémas centraux semi-discrets de type Godunov pour des systèmes hyperboliques de lois de conservation et des équations de Hamilton–Jacobi. Les schémas reposent sur l'utilisation d'informations plus précises sur les vitesses de propagation locales et peuvent être considérés comme une généralisation des schémas de A. Kurganov et E. Tadmor, J. Comput. Phys., 160 (2000), pp. 241–282 ; A. Kurganov et D. Levy, SIAM J. Sci. Comput., 22 (2000), pp. 1461–1488 ; A. Kurganov et G. Petrova, Un schéma central véritablement multidimensionnel semi-discret d'ordre trois pour les lois de conservation hyperboliques et des problèmes connexes, Numer. Math., à paraître et A. Kurganov et E. Tadmor, J. Comput. Phys., 160 (2000), pp. 720–742. Les principaux avantages des schémas centraux proposés sont la haute résolution, due à la faible dissipation numérique, et la simplicité. Il n'y a pas de solveurs de Riemann ni de décomposition caractéristique impliqués, ce qui en fait un outil universel pour une grande variété d'applications. En même temps, les schémas développés ont une nature upwind, car ils respectent les directions de propagation des ondes en mesurant les vitesses locales unilatérales. C'est pourquoi nous les appelons schémas centraux-upwind. Les schémas construits sont appliqués à divers problèmes, tels que les équations d'Euler de la dynamique des gaz, les équations de Hamilton–Jacobi avec des Hamiltoniens convexes et non convexes, et les équations d'Euler et de Navier–Stokes incompressibles. La condition d'incompressibilité dans ces dernières équations permet de les traiter à la fois sous leur forme conservatrice et de transport. Nous appliquons à ces problèmes les schémas centraux-upwind, développés séparément pour chacun d'eux, et calculons les solutions numériques correspondantes. Mots-clés : lois de conservation multidimensionnelles et équations de Hamilton–Jacobi, schémas centraux semi-discrets de haute résolution, équations d'Euler compressibles et incompressibles.