Intégration numérique géométrique illustrée par la méthode de Störmer–Verlet

Le sujet de l'intégration numérique géométrique concerne les intégrateurs numériques qui préservent les propriétés géométriques du flot d'une équation différentielle et explique comment la préservation de la structure conduit à un comportement amélioré à long terme. Cet article illustre les concepts et les résultats de l'intégration numérique géométrique sur l'exemple important de la méthode de Störmer–Verlet. Il présente ainsi un échantillon de la récente monographie des auteurs, enrichie de matériel supplémentaire. Après une introduction à la méthode Newton–Störmer–Verlet–leapfrog et à ses diverses interprétations, suit une discussion sur les propriétés géométriques : réversibilité, symplecticité, préservation du volume et conservation des premiers intégrales. L'extension aux systèmes hamiltoniens sur les variétés est également décrite. La base théorique repose sur une analyse d'erreur rétrograde, qui traduit les propriétés géométriques de la méthode dans la structure d'une équation différentielle modifiée, dont le flot est presque identique à la méthode numérique. Combinée avec des résultats de la théorie des perturbations, cela explique l'excellent comportement à long terme de la méthode : conservation d'énergie à long terme, croissance d'erreur linéaire et préservation des tori invariants dans les systèmes presque intégrables, un théorème viriel discret et conservation des invariants adiabatiques.