Transformations de Darboux pour les équations de Schrödinger non linéaires

Les transformations de Darboux pour le système AKNS/ZS sont construites en termes de déterminants de type Grammien des solutions vectorielles des paires de Lax associées avec un paramètre spectral d'opérateur. Une étude de la réduction de la transformation de Darboux pour les équations de Schrödinger non linéaires avec dispersion standard et anormale est présentée. Deux familles différentes de nouvelles solutions pour une solution graine donnée de l'équation de Schrödinger non linéaire sont données, l'une des familles étant liée à une nouvelle paire de Lax vectorielle pour elle. Dans la première famille et associée à des matrices diagonales, nous présentons des solutions topologiques, avec un argument asymptotique différent pour l'amplitude et un fond non nul. Pour le cas de la dispersion anormale, elles représentent des déformations continues de la solution bright n-soliton, qui est récupérée pour un fond nul. En particulier, ces solutions contiennent la combinaison de multiples orbites homoclines de l'équation de Schrödinger non linéaire de focalisation. Associées aux blocs de Jordan, nous trouvons des déformations rationnelles des solutions juste décrites ainsi que des solutions purement rationnelles. La deuxième famille contient non seulement les solutions mentionnées ci-dessus mais aussi des classes plus larges de solutions. Par exemple, dans le cas de la dispersion standard, nous pouvons obtenir les solutions solitons sombres.