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Les méthodes implicites pour les équations hyperboliques sont analysées en utilisant des décompositions LU. Il est démontré que l'inversion des matrices tridiagonales résultantes est généralement stable même lorsque la dominance diagonale est perdue. De plus, ces décompositions peuvent être utilisées pour construire des algorithmes stables en multidimensionnel. Lors de la marche vers un état stationnaire, la solution est indépendante du temps. Les méthodes de directions alternées qui résolvent pour u n+1 − u n sont inconditionnellement instables dans des dimensions tridimensionnelles et donc la nouvelle méthode est plus appropriée. En outre, seulement deux facteurs sont nécessaires même dans des dimensions tridimensionnelles et le nombre d'opérations par étape de temps est faible. L'accélération vers un état stationnaire est analysée, et il est montré que la méthode entièrement implicite avec de grands pas de temps approxime une procédure d'itération de Newton-Raphson.
Jameson et al. (Thu,) ont étudié cette question.